بزرگنمایی و معادلههای عدسی
مقدمه
محاسبه مکان یک شیء و تصویر متناظر آن در
عدسیها معمولا بدون رجوع به بزرگنمایی تصویر انجام میگیرد. هر چند ، در عمل هنگام ایجاد تصاویر حقیقی ، این بزرگنمایی ، یعنی نسبت طول تصویر به طول جسم است که مشخص میکند تصویر ایجاد شده از نظر اندازه مناسب است یا خیر. همچنین ، اگر فاصلهها در محدوده فاصله کانونی و معادله به عنوان تابعی از بزرگنمایی نوشته شود. تخمینهای سریع یا فاصله کانونی و معادله به عنوان تابعی از بزرگنمایی نوشته شود. تخمینهای سریع یا محاسبات سر انگشتی و ذهنی معمولا سریعتر صورت میگیرند.
بزرگنمایی
بزرگنمایی به صورت زیر تعریف میشود:
طول شیء / طول تصویر = M
از تشابهات دو مثلث ABD و CBG حاصل از رسم پرتوهای فرودی و عبوری خواهیم داشت:(معادله 1)
M = I/O = q/p
از حالتهای بسیار رایج ، ثبت تصویر روی فیلمی به ابعاد 36×24 میلیمتر است. به عنوان مثال فرض کنید میخواهیم تصویر عمارت بلندی به طول 30 متر را روی یک فیلم 30 میلیمتری قرار دهیم. به عبارت دیگر ، بزرگنمایی باید چنین باشد:
M = I/O = 30/30000 mm = 1/1000
معادله گاوسی
رابطه بین شیء تا عدسی و تصویر تا عدسی برای عدسیهای نازک توسط
کارل فردریش گاوس (1855-1777) در قرن نوزدهم ارائه گردید. این رابطه چنین است:(معادله 2)
f-1 = 1/p + 1/q
که f فاصله کانونی عدسی p فاصله شیء تا عدسی p فاصله تصویر تا عدسی است. اما برای تخمین سریع یا محاسبه ذهنی ، شاید در این رابطه مقادیر معکوس زیاد مناسب نباشند. اگرمعادله (2) را در q ضرب کنیم، خواهیم داشت:(معادله 3)
q/f = q/p + q/q
q/r فاصله تصویر اندازه گیری شده برحسب فاصله کانونی q/p بزرگنمایی M و q/r برابر با 1 است. با جاگذاری q بجای q/r و M بجای q/p خواهیم داشت:(معادله 4)
Q = M +1
به عبارت دیگر ، فاصله تصویر (تا عدسی) ، (M+1) برابر فاصله کانونی است. به همین ترتیب میتوانیم P یعنی فاصله شیء اندازه گیری شده بر حسب فاصله کانونی را چنین نمایش دهیم:
p = 1/M + 1
معادله نیوتن
در سالهای آغازین قرذن هجدهم ،
ایزاک نیوتن (1727-1642) رابطهای برای عدسیها نوشت که در آن فاصله شیء و تصویر نه عدسی بلکه دو کانون F و 'F اندازه گیری میشوند، همانطور که در شکل نشان داده شده است. نیوتن در کتاب "اپتیک" خود این رابطه را بدون توضیح چنین نوشته بود:
'x/f = f/x
وی در سالهای بعد استدلال کامل برای آن نیز ارائه داد. با مراجعه به شکل پیداست که این کمیتها مربوط به تشابه دو مثلث هستند. مثلثهای قائم الزاویه ADF و BHF باهم متشابهند. همین طور مثلثهای قائم الزاویه 'CGF و 'BEF نیز باهم متشابهند. از طرفی در شکل داریم: AD = BE = 0 و CG=BH=1 که نسبت تناسب آنها نیز توسط نیوتن ارائه شد. کتابهای درسی عصر حاضر ، این معادله را معمولا بصورت زیر مینویسند:(معادله 5)
'f2 = xx
که میتوان x و 'x را به ترتیب فاصله شیء تا کانون و تصویر تا کانون متناظر نامید. معادله نیوتن بیش از یک قرن ، پیشتر از معادله گاوس ارائه شده بود. در سالهای اخیر ، برخی کتابهای درسی این معادله را فقط بصورت یک تمرین مطرح میسازند و از دانش آموزان میخواهند که آن را از معادله گاوس بدست آورد، یا آنکه اصلا به آن اشارهای نمیکنند. دو طرف معادله (5) را بر f
2 تقسیم میکنیم، خواهیم داشت:
1 = xx'/ff
که x/f و x'/f فاصلههای جسم و تصویر بر حسب فاصله کانونی است. مناسب است که این عبارتها را به ترتیب با نمادهای x و 'x نمایش دهیم:(معادله 6)
'I = xx
معادله (6) نکته جالب و مفیدی را آشکار میسازد و آن این است که فاصله جسم برحسب فاصله کانونی ، x ، و فاصله تصویر برحسب فاصله کانونی ، 'x ، کمیتهایی هستند که با هم نسبت عکس دارند. از معادلههای (3) و (4) میتوان نوشت:(معادله 7)
q/f = M + 1
با جاگذاری ('f+x) برای q ، معادله (7) خواهد شد:
f + x')/f = M + 1)
پس از ساده شدن می شود:
1 + x'/f + 1 = M
x'/f = M
با جاگذاری 'x در سمت چپ معادله فوق ، خواهیم داشت:(معادله 8)
x' = M
میبینیم که معادله نیوتن برای عدسی میتواند از معادله گاوسی مناسبتر باشد، چون فاصله تصویر بر حسب فاصله کانونی از نظر عددی برابر با بزرگنمایی عدسی میشود. به همین ترتیب فاصله شیء بر حسب فاصله کانونی برابر عکس بزرگنمای میشود:(معادله 9)
x = 1/M
به مثال تصویر برداری از عمارت 30 متری برگردیم. تصویر در 1000/1 فاصله کانونی نسبت به کانون متناظر ، 'F و پشت عدسی تشکیل میشود. از آن سو ، شیء در 1000 برابر فاصله کانونی نسبت به کانون متناظر ، F ، جلوی عدسی قرار دارد. به عنوان مثالی دیگر ،
دستگاه پروژکتور فیلم متحرک 35 میلیمتری را در نظر بگیرید. قاب تصویر 22×18 میلیمتر را اندازه میگیرد، اما برای پروژکتور به هنگام فیلمبرداری ابعاد فیلم 17.8×20.9 میلیمتر میشود. اگر فیلم بخواهد روی پردهای به عرض 8 متر نمایش داده شود، در آن صورت بزرگنمایی تصویر خواهد شد: M = 8000/20.9 mm = 383
یعنی فاصله تصویر بر حسب فاصله کانونی 383 برابر فاصله کانونی تا پرده میشود. بنابراین ، میبینیم که بیان فاصلههای جسم و تصویر (بر حسب کانونی) به عنوان تابعی از بزرگنمایی راهی سریع و مستقیم برای تجسم رابطهها در معادلات عدسی است. معادله نیوتن ، بویژه ، کاربرد ساده و مفیدی را در این خصوص ارائه میدهد.
درباره 
محصولات
تماس سریع و مشاوره
نظرسنجی